a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2mx+2m+8\)

=>\(x^2-2mx-2m-8=0\)(1)

Thay m=-4 vào (1), ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-4\right)\cdot x-2\cdot\left(-4\right)-8=0\)

=>\(x^2+8x=0\)

=>x(x+8)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-8\end{matrix}\right.\)

Thay x=0 vào (P), ta được:

\(y=0^2=0\)

Thay x=-8 vào (P), ta được:

\(y=x^2=\left(-8\right)^2=64\)

Vậy: (P) và (d) cắt nhau tại O(0;0) và A(-8;64)

b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-8\right)\)

\(=4m^2+8m+32\)

\(=4m^2+8m+4+28=\left(2m+2\right)^2+28>=28>0\forall m\)

=>Phương trình (1)luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-8\end{matrix}\right.\)

mà \(x_1+2x_2=2\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+2x_2=2\\x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2-2m\\x_1=2m-2+2m=4m-2\\x_1\cdot x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

=>(2-2m)(4m-2)=-2m-8

=>\(8m-4-8m^2+4m=-2m-8\)

=>\(-8m^2+12m-4+2m+8=0\)

=>\(-8m^2+14m+4=0\)

=>\(-8m^2+16m-2m+4=0\)

=>-8m(m-2)-2(m-2)=0

=>(m-2)(-8m-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

a. Em tự giải

b,

Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(x^2=2mx+2m+8\Leftrightarrow x^2-2mx-2m-8=0\) (1)

\(\Delta'=m^2+2m+8=\left(m+1\right)^2+7>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm pb với mọi m hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb.

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

Kết hợp hệ thức Viet và đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+2x_2=2\\x_1+x_2=2m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2m+2\\x_1=4m-2\\\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=-2m-8\)

\(\Rightarrow\left(4m-2\right)\left(-2m+2\right)=-2m-8\)

\(\Leftrightarrow8m^2-14m-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

PTHĐGĐ là:

x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0

Δ=(2m+1)^2-4(m^2+m-6)

=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24

=25>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(\left|x_1^2-x_2^2\right|=50\)

\(\Leftrightarrow\left|\left(2m+1\right)\right|\cdot\sqrt{\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)}=50\)

\(\Leftrightarrow\left|2m+1\right|\cdot5=50\)

=>|2m+1|=10

=>m=9/2 hoặc m=-11/2

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-3x-m^2+1=0\)

\(a=1;b=-3;c=-m^2+1\)

\(\text{Δ}=9-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)

\(=9+4m^2-4=4m^2+5>0\)

Do đó: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

a) Lập phương trình hoành độ giao điểm: 

x² = mx + 3

<=> x² - mx - 3 = 0

Tọa độ (P) và (d) khi m = 2:

<=> x² - 2x - 3 = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x_1=3\\x_2=-1\end{cases}}\) => \(\orbr{\begin{cases}y_1=9\\y_2=1\end{cases}}\)

Tọa độ (P) và (d): A(3; 9) và B(-1; 1)

b) Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt <=> \(\Delta>0\)

<=> (-m)² - 4.1(-3) > 0

<=> m² + 12 > 0 \(\forall m\)

Ta có: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\)

<=> 2x₂ + 2x₁ = 3x₁x₂ 

<=> 2(x₂ + x₁) = 3x₁x₂

Theo viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-3\end{cases}}\)

<=> 2m = 3(-3)

<=> 2m = -9

<=> m = -9/2

a: Khi m=-1 thì (d): y=-x+1-(-1)=-x+2

PTHĐGĐ là:

x^2+x-2=0

=>(x+2)(x-1)=0

=>x=-2 hoặc x=1

=>y=4 hoặc y=1

b: PTHĐGĐ là:

x^2-mx+m-1=0

Δ=(-m)^2-4(m-1)

=m^2-4m+4=(m-2)^2>=0

Để (P) cắt (d) tại hai điểm pb thì m-2<>0

=>m<>2

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3\)

=>x1+x2+2 căn x1x2=9

=>\(m+2\sqrt{m-1}=9\)

=>\(m-1+2\sqrt{m-1}=8\)

=>\(\left(\sqrt{m-1}+4\right)\left(\sqrt{m-1}-2\right)=0\)

=>m=5

`a)` Phương trình hoành độ của `(P)` và `(d)` là:

     `x^2=(2m+2)x-m-2m`

`<=>x^2-2(m+1)x+3m=0`     `(1)`

`(P)` cắt `(d)` tại `2` điểm `A,B<=>` Ptr `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

   `=>\Delta' > 0`

`<=>(m+1)^2-3m > 0`

`<=>m^2+2m+1-3m > 0`

`<=>m^2-m+1 > 0` (LĐ `AA m`)

   `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=3m):}`

Ta có: `{(2x_1+x_2=5),(x_1+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(3-2m+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(x_2=4m-1):}`

Thay vào `x_1.x_2=3m`

  `=>(3-2m)(4m-1)=3m`

`<=>12m-3-8m^2+2m=3m`

`<=>8m^2-11m+3=0`

`<=>(m-1)(8m-3)=0<=>[(m=1),(m=3/8):}`